Текстовые задачи: проценты, смеси, движение и комбинаторика

Около четверти заданий предметного теста — задачи «из жизни». Главное — правильно составить выражение или уравнение.

Проценты

• p% от A равно A × p/100.
• Увеличение на p%: A × (1 + p/100); уменьшение: A × (1 − p/100).
• Если величина B составляет p% от целого, то целое равно B : (p/100).

Сухое вещество и смеси

При испарении воды (сушке, кипячении) масса «сухого» вещества не меняется. Это и есть уравнение.

Пример 1. Виноград содержит 80% воды. Сколько изюма с влажностью 20% получится из 50 кг винограда? Сухое вещество: 50 × 0,2 = 10 кг. В изюме оно составляет 80%, значит масса изюма 10 : 0,8 = 12,5 кг.

Пример 2. Из 20 кг 6-процентного солевого раствора выпарили воду, и концентрация стала 8%. Сколько воды выпарили? Соли 20 × 0,06 = 1,2 кг. Новая масса 1,2 : 0,08 = 15 кг. Выпарили 5 кг.

Среднее значение

Среднее = сумма всех значений : их количество (не среднее из «средних»!).

Пример 3. Трое рабочих получают по 15000 сомов, двое — по 20000. Средняя зарплата: (3 × 15000 + 2 × 20000) : 5 = 85000 : 5 = 17000 сомов.

Движение по реке

Скорость по течению v + u, против течения v − u, где v — собственная скорость, u — скорость течения.

Пример 4. Лодка проходит 60 км по течению за 3 ч, а против течения за 5 ч. v + u = 20, v − u = 12, откуда v = 16 км/ч, u = 4 км/ч.

Задачи с буквами

Пример 5. За a тетрадей и b ручек заплатили c сомов; ручка в 2 раза дешевле тетради. Сколько стоит тетрадь? Пусть тетрадь стоит t, ручка t/2. at + bt/2 = c, t(2a + b)/2 = c, t = 2c/(2a + b). Проверьте ответ подстановкой: при a = 1, b = 2, t = 10 получаем c = 20, и формула даёт 40/4 = 10.

Комбинаторика и вероятность

• Перестановки n разных предметов: n! = 1 × 2 × … × n (5! = 120, 6! = 720).
• Выбрать k из n с учётом порядка: n × (n − 1) × … (k множителей).
• Выбрать k из n без учёта порядка: Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!).
• Вероятность P = (число благоприятных исходов) : (число всех исходов).

Пример 6. Из 7 учеников выбирают старосту, его заместителя и казначея: 7 × 6 × 5 = 210 способов. Если выбирают просто троих дежурных, порядок не важен: 210 : 3! = 35.

Пример 7. Бросают игральный кубик. Вероятность выпадения числа, большего 4: исходы 5 и 6, P = 2/6 = 1/3.

Как не ошибиться

• Обозначьте неизвестное одной буквой и запишите, что оно значит.
• Проценты от разных величин складывать нельзя.
• Сравнивайте ответ со здравым смыслом: после выпаривания масса уменьшается, после сушки — тоже.