Планиметрия: треугольники

Задания о треугольниках встречаются в каждом варианте: найти угол, сторону, синус угла или площадь, проверить, существует ли треугольник.

Основные факты

• Сумма углов треугольника 180°; внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
• Неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• В прямоугольном треугольнике: c² = a² + b²; катет против угла 30° равен половине гипотенузы; sin = противолежащий катет : гипотенуза, cos = прилежащий : гипотенуза, tg = противолежащий : прилежащий.
• Биссектрисы пересекаются в центре вписанной окружности; медианы делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1 от вершины.

Теоремы синусов и косинусов

• Теорема синусов: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, R — радиус описанной окружности.
• Теорема косинусов: c² = a² + b² − 2ab × cos C.
• Полезно: sin 150° = sin 30° = ½, sin 120° = sin 60° = √3/2, sin 135° = √2/2.

Площадь

• S = ½ × a × h
• S = ½ × a × b × sin C (C — угол между сторонами a и b)
• Так как sin C ≤ 1, при данных сторонах a и b площадь не больше ½ab, и максимум достигается при прямом угле.

Разобранные примеры

Пример 1. В равнобедренном треугольнике одна сторона 4 см, другая 9 см. Найдите периметр. Если боковые стороны по 4, то 4 + 4 < 9 — такого треугольника нет. Значит, стороны 9, 9, 4, периметр 22 см.

Пример 2. В треугольнике ABC ∠A = 45°, BC = 6, AB = 3. Найдите радиус описанной окружности и sin C. 2R = BC/sin A = 6 : (√2/2) = 6√2, R = 3√2. sin C = AB/(2R) = 3/(6√2) = √2/4.

Пример 3. Две стороны 5 и 8, угол между ними 60°. Найдите площадь и третью сторону. S = ½ × 5 × 8 × (√3/2) = 10√3. c² = 25 + 64 − 2 × 5 × 8 × ½ = 49, c = 7.

Пример 4. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке I, ∠A = 70°, ∠B = 50°. Найдите ∠AIB. ∠IAB = 35°, ∠IBA = 25°, ∠AIB = 180° − 35° − 25° = 120°. Можно запомнить формулу ∠AIB = 90° + ∠C/2 = 90° + 30°.

Пример 5. Может ли треугольник со сторонами 10 и 7 иметь площадь 40? Нет: наибольшая площадь ½ × 10 × 7 = 35.

Типичные ошибки

• В задаче про равнобедренный треугольник не проверить неравенство треугольника.
• Применять теорему синусов к стороне и не противолежащему ей углу.
• Если на рисунке отрезки делят два угла пополам, третий отрезок через ту же точку тоже биссектриса — это нужно заметить, а не «измерять» рисунок.