Планиметрия: четырёхугольники, окружность и многоугольники

Вторая большая часть геометрии в тесте — параллелограммы, трапеции, окружности, секторы и правильные многоугольники.

Параллелограмм

• Противоположные стороны и углы равны, сумма соседних углов 180°.
• Диагонали делятся точкой пересечения пополам.
• S = a × h = a × b × sin α.

Пример 1. ABCD — параллелограмм, N — точка пересечения диагоналей, K на диагонали BD, BK : KD = 1 : 3, BD = 8. Найдите DN/NK. BN = ND = 4, BK = 2, значит NK = 4 − 2 = 2, DN/NK = 4/2 = 2. Удобный приём: принять длину отрезка за конкретное число, кратное всем долям.

Трапеция

• S = (a + b)/2 × h; средняя линия равна (a + b)/2.
• Диагонали трапеции образуют подобные треугольники BOC и DOA с коэффициентом BC : AD, поэтому BO : OD = CO : OA = BC : AD.

Пример 2. В трапеции BC = 4, AD = 10, BO = 2. Тогда OD = 2 × 10/4 = 5, BD = 7.

Вписанная и описанная окружности

• В четырёхугольник можно вписать окружность ⇔ суммы противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD.
• Около четырёхугольника можно описать окружность ⇔ сумма противоположных углов 180°.

Пример 3. В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB : CD = 5 : 3, BC = 7, AD = 9. AB + CD = 16; 5k + 3k = 16, k = 2, AB = 10, CD = 6.

Окружность и сектор

• Длина окружности 2πR, площадь круга πR².
• Сектор с углом α: S = πR² × α/360°, длина дуги πRα/180°.
• Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу; угол, опирающийся на диаметр, прямой.
• Смежные центральные углы при диаметре дают в сумме 180°.

Пример 4. Площадь сектора с углом 40° равна S. Площадь сектора того же круга с углом 100° равна S × 100/40 = 5S/2.

Пример 5. Площадь сектора 90° круга радиуса R₁ равна площади сектора 40° круга радиуса R₂. Найдите R₁/R₂. πR₁²/4 = πR₂² × 40/360 = πR₂²/9, R₁²/R₂² = 4/9, R₁/R₂ = 2/3.

Правильный шестиугольник

• Состоит из 6 правильных треугольников со стороной a; радиус описанной окружности равен a.
• Внутренний угол 120°; S = 6 × a²√3/4 = 3√3a²/2.
• Большая диагональ 2a, малая a√3.

Пример 6. При a = 2: S = 6 × 4√3/4 = 6√3, большая диагональ 4, малая 2√3.

Типичные ошибки

• Путать условия вписанной окружности (стороны) и описанной (углы).
• Считать отношение площадей секторов по радиусам, а не по квадратам радиусов.
• Делать выводы «на глаз»: используйте только данные и свойства фигур.