Векторы и координаты

Векторы и координаты в предметном тесте обычно проверяют умение делить отрезок в отношении, находить противоположные векторы и работать с точками на плоскости и в пространстве.

Векторы

• Вектор AB с началом A(x₁; y₁) и концом B(x₂; y₂) имеет координаты (x₂ − x₁; y₂ − y₁).
• BA = −AB: противоположный вектор той же длины.
• k × a⃗ при k > 0 сонаправлен с a⃗, при k < 0 направлен противоположно.
• Векторы на параллельных прямых коллинеарны: один равен другому, умноженному на число.

Деление отрезка

Если точка P лежит на отрезке MN и MP : PN = m : n, то MP = m/(m + n) × MN (как векторы).

Пример 1. Точка K на отрезке AB, AK : KB = 3 : 1, вектор AB = b⃗. AK = ¾b⃗, KB = ¼b⃗, а BK = −¼b⃗ (направление от B к K противоположно b⃗).

Пример 2. ABCD — трапеция, BC ∥ AD, AD = 3BC. Векторы BC и AD сонаправлены, поэтому AD = 3 × BC, а DA = −3 × BC.

Координатная прямая

Если между точками a и b отмечено k равных отрезков, длина одного из них (b − a)/k.

Пример 3. Между −2 и 4 четыре равных отрезка. Длина одного 6/4 = 1,5. Вторая точка деления: −2 + 2 × 1,5 = 1.

Плоскость

• Середина отрезка: ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2).
• Расстояние: √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).

Пример 4. A(1; 2), B(7; 10): середина (4; 6), AB = √(36 + 64) = 10.

Пример 5. Квадрат OABC со стороной 2 лежит в первой четверти, C(2; 0). Точка D(d; 0) левее O, и площадь треугольника с вершинами D, C и B(2; 2) равна площади квадрата. Основание DC = 2 − d, высота 2: ½ × (2 − d) × 2 = 4, откуда 2 − d = 4, d = −2.

Целочисленные точки

Точка целочисленная, если обе координаты целые. На отрезке от (0; 0) до (6; 4) такие точки (0; 0), (3; 2), (6; 4): их число равно НОД(6; 4) + 1 = 3. Фигура |x| + |y| = 1 — квадрат с вершинами (±1; 0), (0; ±1); на нём ровно 4 целочисленные точки.

Пространство Oxyz

• В плоскости Oxy координата z = 0, в Oyz x = 0, в Oxz y = 0.
• На оси Ox две координаты нулевые: (a; 0; 0).
• Отрезок лежит в плоскости, если оба его конца лежат в ней.

Пример 6. Точка (3; 0; −2) лежит в плоскости Oxz, а (0; 5; 1) — в Oyz.

Типичные ошибки

• Путать вектор MP и PM (знак!).
• Путать отношение частей (2 : 3) с долей от целого (2/5).
• Считать по рисунку вместо координат.