Стереометрия: куб, призма и тела вращения

В предметном тесте обычно 2–3 задания по стереометрии: объёмы, поверхности, диагонали куба и тела, получающиеся при вращении.

Куб и прямоугольный параллелепипед

• Куб с ребром a: V = a³, полная поверхность S = 6a², диагональ грани a√2, диагональ куба a√3.
• Параллелепипед a × b × c: V = abc, S = 2(ab + bc + ac), диагональ √(a² + b² + c²).

Призма, пирамида, цилиндр, конус, шар

• Призма: V = S(основания) × h. У призм с одинаковой высотой объёмы относятся как площади оснований.
• Пирамида: V = ⅓ × S(основания) × h.
• Цилиндр: V = πr²h, боковая поверхность 2πrh.
• Конус: V = ⅓πr²h.
• Шар: V = (4/3)πR³, площадь сферы 4πR².
• Подобные тела с коэффициентом k: площади в k² раз, объёмы в k³ раз.

Тела вращения

• Прямоугольник вращается вокруг стороны → цилиндр (эта сторона — высота, другая — радиус).
• Прямоугольный треугольник вокруг катета → конус.
• Куб вокруг ребра → цилиндр высотой a и радиусом, равным самому дальнему расстоянию от оси, то есть диагонали грани a√2.

Разобранные примеры

Пример 1. Прямоугольник 3 × 5 вращают вокруг стороны 5: цилиндр r = 3, h = 5, V = π × 9 × 5 = 45π. Вокруг стороны 3: r = 5, h = 3, V = 75π.

Пример 2. Объём куба 27. Найдите диагональ куба и объём тела, полученного вращением куба вокруг ребра. a = 3, диагональ 3√3. r = 3√2, h = 3, V = π × 18 × 3 = 54π.

Пример 3. Куб с ребром 4 разрезали на кубики с ребром 1. Кубиков 4³ = 64, их общая поверхность 64 × 6 = 384, у исходного куба 6 × 16 = 96. Поверхность выросла в 4 раза, то есть в a раз.

Пример 4. Диагональ параллелепипеда 2 × 3 × 6 равна √(4 + 9 + 36) = 7.

Пример 5. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром a точка E делит ребро DC так, что DE : EC = 1 : 2. Плоскость через BB₁ и E делит куб на две призмы. Во сколько раз объём большей больше объёма меньшей? Высоты одинаковы (a), сравниваем основания. Треугольник BCE: ½ × a × (2a/3) = a²/3. Остальная часть квадрата: a² − a²/3 = 2a²/3. Ответ: в 2 раза.

Пример 6. Радиус шара увеличили в 2 раза — объём вырос в 2³ = 8 раз, площадь поверхности в 4 раза.

Типичные ошибки

• Брать за радиус цилиндра ребро куба, а не диагональ грани.
• Путать полную поверхность (6a²) и объём (a³).
• Забывать ⅓ в формулах пирамиды и конуса.