Подстановка чисел: когда правильный ответ «Г»

Если в колонках есть буквы, самый надёжный способ проверки – подставить несколько разных чисел. Если при одних значениях больше А, а при других больше Б (или величины равны), ответ Г.

Какие числа подставлять

• 0 и 1 – при них многие выражения совпадают (0² = 0, 1² = 1).
• Отрицательное число, например −1 или −2.
• Дробь между 0 и 1, например ½.
• Отрицательную дробь, например −½.
• Большое число, например 10.

Подставлять нужно только значения, которые разрешены условием. Если сказано «n – целое положительное», дроби и отрицательные числа не годятся.

Как ведут себя x, x² и x³

По графикам видно:

• при x > 1: x³ > x² > x;
• при 0 < x < 1: x > x² > x³;
• при x = 0 и x = 1 все три равны;
• при −1 < x < 0: x² > x³ > x;
• при x < −1: x² > x > x³.

Значит, сравнение x и x² без условия на x всегда даёт ответ Г.

Примеры

Пример 1. Колонка А: x². Колонка Б: x. Условия нет. x = 2: 4 > 2, больше А. x = ½: ¼ < ½, больше Б. Ответ: Г.

Пример 2. Условие: x < 0. Колонка А: x³. Колонка Б: x². При x < 0 куб отрицателен, а квадрат положителен. Ответ: Б.

Пример 3. Условие: n – целое число. Колонка А: n². Колонка Б: n. При n = 0 и n = 1 величины равны, при остальных целых n² > n. Возможны два исхода (В и А), поэтому ответ Г.

Пример 4. Условие: a > b. Колонка А: a². Колонка Б: b². a = 3, b = 1: 9 > 1, больше А. a = 1, b = −3: 1 < 9, больше Б. Ответ: Г.

Подстановка не доказывает «А», «Б» или «В»

Если три подстановки дали один и тот же результат, это ещё не доказательство. Чтобы уверенно выбрать А, Б или В, проверьте рассуждением. Например, при x > 0 из x(x − y) > 0 следует x − y > 0, то есть x > y, и это верно при любых подходящих числах.

Типичные ошибки

• Подставлять только «удобные» положительные целые числа и пропускать 0, отрицательные числа и дроби.
• Забывать, что «равно при некоторых значениях, больше при других» – это тоже ответ Г.
• Подставлять значения, которые запрещены условием.