Сравнение чисел без калькулятора: дроби, корни, степени

Многие задания первой части – это сравнение двух чисел, которые неудобно вычислять точно. Нужны приёмы, позволяющие сравнить быстро.

Приёмы

• Сравнение с 1. Дробь с числителем меньше знаменателя меньше 1, с числителем больше знаменателя – больше 1. Например, 47/50 < 1 < 50/47.
• Крест-накрест. Для положительных дробей a/b > c/d, если a × d > b × c.
• Десятичные дроби сравнивают поразрядно, дописав нули: 2,5 и 2,46 → 2,50 > 2,46.
• Отрицательные числа. Из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше: −0,3 > −0,4.
• Корни. Положительные числа можно возвести в квадрат: если a² > b², то и a > b.
• Степени. Приводят к одинаковому основанию или к одинаковому показателю.
• Знак степени. Чётная степень отрицательного числа положительна, нечётная – отрицательна.
• Основание между 0 и 1. Чем больше показатель, тем меньше значение: (0,5)¹⁰ < (0,5)³.
• Разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b).

Примеры

Пример 1. Колонка А: 13/17. Колонка Б: 14/19. 13 × 19 = 247, 17 × 14 = 238, 247 > 238. Ответ: А.

Пример 2. Колонка А: −5/6. Колонка Б: −0,8. 5/6 ≈ 0,83 > 0,8, значит модуль у −5/6 больше и само число меньше. Ответ: Б.

Пример 3. Колонка А: 3√2. Колонка Б: 2√5. Квадраты: (3√2)² = 9 × 2 = 18, (2√5)² = 4 × 5 = 20. Ответ: Б.

Пример 4. Колонка А: 2³⁰. Колонка Б: 3²⁰. 2³⁰ = (2³)¹⁰ = 8¹⁰, 3²⁰ = (3²)¹⁰ = 9¹⁰. Показатели одинаковые, основание 9 больше. Ответ: Б.

Пример 5. Колонка А: 51² − 49². Колонка Б: 200. 51² − 49² = (51 − 49)(51 + 49) = 2 × 100 = 200. Ответ: В.

Пример 6. Колонка А: (2¹⁰ − 2⁹) / 2⁸. Колонка Б: 2. Делим почленно: 2¹⁰/2⁸ − 2⁹/2⁸ = 4 − 2 = 2. Ответ: В.

Типичные ошибки

• Считать, что 3,134 > 3,14, потому что «цифр больше». Сравнивайте разряды.
• Перемножать крест-накрест отрицательные дроби – правило верно только для положительных.
• Забывать, что 1/√3 = √3/3: избавление от корня в знаменателе часто сразу показывает ответ.