Геометрия в заданиях на сравнение

В первой части часто сравнивают углы, длины и площади фигур. Измерять линейкой нельзя: ответ должен следовать из свойств фигур.

Факты, которые нужны чаще всего

• Сумма углов треугольника 180°. Наименьший угол треугольника не больше 60°, наибольший не меньше 60°.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• Любая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других.
• Средняя линия треугольника параллельна стороне и равна её половине. Три средние линии делят треугольник на четыре равных треугольника.
• Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
• Диагональ квадрата со стороной a равна a√2.
• Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180° × (n − 2), сумма внешних углов – 360°.
• Часы: между соседними цифрами 30°, часовая стрелка поворачивается на 0,5° за минуту.

Пример 1. Средние линии

M, N, K – середины сторон треугольника ABC. Колонка А: площадь трапеции AMNC. Колонка Б: удвоенная площадь треугольника MNK. Средние линии делят ABC на четыре равных треугольника площадью S. Трапеция AMNC состоит из трёх таких треугольников (AMK, MNK, KNC): её площадь 3S. Удвоенная площадь MNK равна 2S. Ответ: А.

Пример 2. Вписанный и центральный углы

На рисунке вписанный угол 60° и центральный угол 120° опираются на одну дугу AB. Пусть теперь ∠ACB = 55°. Колонка А: ∠OAB. Колонка Б: 40°. Центральный угол ∠AOB = 2 × 55° = 110°. Треугольник AOB равнобедренный (OA = OB – радиусы), поэтому ∠OAB = (180° − 110°)/2 = 35°. Ответ: Б.

Пример 3. Часы

Колонка А: угол между стрелками в 3:00. Колонка Б: угол между стрелками в 9:30. В 3:00 угол 3 × 30° = 90°. В 9:30 минутная стрелка на 6, часовая – посередине между 9 и 10, то есть в 3,5 делениях от 6: 3,5 × 30° = 105°. Ответ: Б.

Пример 4. Многоугольник

Каждый внутренний угол многоугольника равен 140°. Колонка А: число сторон n. Колонка Б: 8. Внешний угол 180° − 140° = 40°, n = 360° : 40° = 9. Ответ: А.

Пример 5. Когда данных мало

Две стороны треугольника равны 5 и 8. Колонка А: третья сторона. Колонка Б: 10. Третья сторона c удовлетворяет 3 < c < 13, она может быть и 4, и 12. Ответ: Г.

Советы

• Отметьте на рисунке всё, что дано: равные отрезки, параллельные прямые, прямые углы.
• Если фигура задана не полностью (например, у трапеции известны не все углы), проверьте, не может ли она меняться. Тогда ответ Г.